\(\left(m^2-1\right)x-8m+9-m^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-8m-1\right)x\ge m^2-9\)

- Với \(m=4+\sqrt{17}\) ko thỏa mãn

- Với \(m=4-\sqrt{17}\) thỏa mãn

- Với \(m\ne4\pm\sqrt{17}\)

Pt nghiệm đúng với mọi \(x\ge0\) khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-8m-1>0\\\dfrac{m^2-9}{m^2-8m-1}\le0\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-8m-1>0\\m^2-9\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-3\le m< 4-\sqrt{17}\)

Vậy \(-3\le m\le4-\sqrt{17}\)

- Với \(m=\dfrac{1}{2}\) ko thỏa mãn

- Với \(m\ne\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^3-\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x^2+\left(m-4\right)x+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left[\left(m-2\right)x+2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2\right]\ge0\) (1)

Do (1) luôn chứa 1 nghiệm \(x=1\in\left(0;+\infty\right)\) nên để bài toán thỏa mãn thì cần 2 điều sau đồng thời xảy ra:

+/ \(2m-1>0\Rightarrow m>\dfrac{1}{2}\)

+/ \(\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2=0\) có 2 nghiệm trong đó \(x_1\le0\) và \(x_2=1\)

Thay \(x=1\) vào ta được:

\(\left(2m-1\right)-\left(m-2\right)-2=0\Leftrightarrow m=1\)

Khi đó: \(x^2+x-2=0\) có 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x_1=-2< 0\left(thỏa\right)\\x_2=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=1\)

\(x^2-2x+4\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+2\right)}-18+m\ge0\)

\(\Leftrightarrow-\left(-x^2+2x+8\right)+4\sqrt{-x^2+2x+8}\ge10-m\left(1\right)\)

Đặt \(t=\sqrt{-x^2+2x+8}\left(0\le t\le3\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow10-m\le f\left(t\right)=-t^2+4t\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi 

\(10-m\le minf\left(t\right)=min\left\{f\left(0\right);f\left(3\right);f\left(2\right)\right\}=f\left(0\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m\ge10\)

Vậy \(m\ge10\)

Câu 1:

Đặt \(3^x=t(t>0)\)

PT trở thành:

\(t^2-6.t+5=m\)

\(\Leftrightarrow t^2-6t+(5-m)=0\)

Để PT có đúng một nghiệm thì \(\Delta'=9-(5-m)=0\)

\(\Leftrightarrow m=-4\)

Thử lại \(9^x-6.3^x+9=0\Leftrightarrow 3^x=3\Leftrightarrow x=1\in [0;+\infty )\) (đúng)

Vậy \(m=-4\)

Câu 2:

\(4^x-2^x-m\geq 0\Leftrightarrow (2^x)^2-2^x-m\geq 0\)

Đặt \(2^x=t\Rightarrow t^2-t-m\geq 0\) với mọi \(t\in (1; 2)\)

\(\Leftrightarrow m\leq t^2-t\Leftrightarrow m\leq \min (t^2-t)\)

Xét hàm \(f(t)=t^2-t\Rightarrow f'(t)=2t-1>0\forall t\in (1;2)\)

\(\Rightarrow f(t)> f(1)=0\) với mọi \(t\in (1;2)\)

Do đó \(m\leq 0\)

Câu 3:

Đặt \(2^x=t\Rightarrow t\in \left(\frac{1}{2}; 4\right)\)

BPT \(\Leftrightarrow t^2-4t-m\leq 0\Leftrightarrow m\geq t^2-4t\)

Để HPT luôn đúng với x thuộc khoảng xác định thì \(m\geq \max (t^2-4t)\)

Xét \(f(t)=t^2-4t\Rightarrow f'(t)=2t-4=0\Leftrightarrow t=2\)

Lập bảng biến thiên suy ra \(f(t)< f(4)=0\)

Do đó \(m\geq 0\)